Question

过点F（0，1）作直线l与抛物线x2=4y相交于两点A、B，圆C：x2+（y+1）2=1

Answer 1

解题思路：（1）先求抛物线过点B的切线方程，利用点B处的切线恰好与圆C相切及点B在抛物线即可求得点B坐标，从而可求直线方程；

（2）由已知，直线l的斜率存在，则设直线l的方程为：y=kx+1，与x²=4y联立，再分别表示出各线段长，即可求得|AB|²-|AE|²-|BD|²的取值范围．

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

由x²=4y，得y/＝

1

2x，则过点B的切线方程为：

x2

2x−y+y2−

x22

2＝0

由已知：点B处的切线恰好与圆C相切，y2＝

x22

4

∴x2＝±2

3，y2＝3，即点B坐标为(±2

3，3)，

∴直线l的方程为：y＝±

3

3x+1

（Ⅱ）

法一：由已知，直线l的斜率存在，则设直线l的方程为：y=kx+1，

联立x²=4y，得x²-4kx-4=0，∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4

∴x₁²+x₂²=16k²+8

∴|AB|²-|AE|²-|BD|²=（-2-2k²）x₁x₂-4k（x₁+x₂）-6=-8k²+2≤2

∴|AB|²-|AE|²-|BD|²的取值范围是（-∞，2]

法二：根据题意，连接AC、AB﹑EC﹑ED．设直线l的方程为：y=kx+1，

联立x²=4y可得x²-4kx-4=0，∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4

|AE|²=|AC|²-|EC|²=x₁²+（y₁+1）²-1．

同理，|BD|²=x₂²+（y₂+1）²-1．

又|AB|²=（y₁+y₂+2）²

∴|AB|²-|AE|²-|BD|²=2x₁x₂+4（x₁+x₂）-（y₁²+y₂²）-2（y₁+y₂）+4=-8k²+2≤2．

∴|AB|²-|AE|²-|BD|²的取值范围是（-∞，2]

点评：

本题考点： 圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点