解题思路：根据已知条件分别得出做题情况，即可得出所有可能结果．
做对15题最多得75分；
做对14题最多得70分．可能分数有69；
做对13题最多得65分．可能分数有64，63；
做对12题最多得60分，可能分数有59，58，57
做对11题最多得55分，可能分数有54，53，52，51
做对10题最多得50分，可能分数有49，48，47，46，45
做对9题最多得45分，可能分数有44，43，42，41，40，39
做对8题最多得40分，可能分数有39，38，37，36，35，34，33，32
以下类推，
做对0题最多得0分，可能分数有-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7，-8，-9，-10，-11，-12，-13，-14，
-15
但是从做对10道题和9道题时，45分时重复的，重复1个分数；
做对9道题和8道题得分重复2个分数；
一直到做对1道题和0道题时重复10个分数
所以共有的情况是：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16-（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）
=11+12+13+14+15+16
=（11+16）×3
=51（种）
答：这次竞赛最多有51种不同的分数．
点评：
本题考点： 筛选与枚举．
考点点评： 此题主要考查了简单的枚举法应用，根据已知得出所有符合要求的答案是解题关键．