Question

在平面直角坐标系中、o为坐标原点、抛物线y等于2分之1x的平方加2x与x轴相交于OB两点、顶点为A、连接OA、求点A的坐

Answer 1

（1）∵由y=

1

2

x2+2x得,y=

1

2

（x+2）2-2,

∴抛物线的顶点A的坐标为（-2,-2）,

令

1

2

x2+2x=0,解得x1=0,x2=-4,

∴点B的坐标为（-4,0）,

过点A作AD⊥x轴,垂足为D,

∴∠ADO=90°,

∴点A的坐标为（-2,-2）,点D的坐标为（-2,0）,

∴OD=AD=2,

∴∠AOB=45°；

（2）四边形ACOC′为菱形．

由题意可知抛物线m的二次项系数为

1

2

,且过顶点C的坐标是（2,-4）,

∴抛物线的解析式为：y=

1

2

（x-2）2-4,即y=

1

2

x2-2x-2,

过点C作CE⊥x轴,垂足为E；过点A作AF⊥CE,垂足为F,与y轴交与点H,

∴OE=2,CE=4,AF=4,CF=CE-EF=2,

∴OC=

OE2+EC2

=

22+42

=2

5

,

同理,AC=2

5

,OC=AC,

由反折不变性的性质可知,OC=AC=OC′=AC′,

故四边形ACOC′为菱形．