Question

（2013•苍梧县二模）如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点

Answer 1

解题思路：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²+4，然后将点B的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；

（2）设E点坐标为（n，-n²+2n+3），抛物线对称轴为x=1，根据2|n-1|=EF，列方程求解；

（3）首先设M的坐标为（a，0），求得BD与DM的长，由平行线分线段成比例定理，求得MN的长，然后由相似三角形对应边成比例，即可得DM²=BD•MN，则可得到关于a的一元二次方程，解方程即可求得答案．

（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²+4，

∵点B的坐标为（3，0）．

∴4a+4=0，

∴a=-1，

∴此抛物线的解析式为：y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；

（2）设E点坐标为（n，-n²+2n+3），抛物线对称轴为x=1，

由2（n-1）=EF，得2（n-1）=-（-n²+2n+3）或2（n-1）=-n²+2n+3，

解得n=2±

5或n=±

5

∵n＞0，

∴n=2+

10或n=

5，

边长EF=2（n-1）=2+2

10或2

5-2；

（3）存在．

过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，

∵BD=

32+32=3

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理等知识．解题的关键是准确地用点的坐标表示线段的长，根据图形的特点，列方程求解，注意数形结合思想的应用．