(1)a=e,或a=3e(2)
(1)求导得f′(x)=2(x﹣a)lnx+
=(x﹣a)(2lnx+1﹣
),
因为x=e是f(x)的极值点,
所以f′(e)=0
解得a=e或a=3e.
经检验,a=e或a=3e符合题意,
所以a=e,或a=3e
(2)①当0<x≤1时,对于任意的实数a,恒有f(x)≤0<4e 2成立
②当1<x≤3e时,,由题意,首先有f(3e)=(3e﹣a) 2ln3e≤4e 2,
解得
由(1)知f′(x)=2(x﹣a)lnx+
=(x﹣a)(2lnx+1﹣
),
令h(x)=2lnx+1﹣
,则h(1)=1﹣a<0,
h(a)=2lna>0且h(3e)=2ln3e+1﹣
≥2ln3e+1﹣
=2(ln3e﹣
)>0
又h(x)在(0,+∞)内单调递增,所以函数h(x)在在(0,+∞)内有唯一零点,记此零点为x 0
则1<x 0<3e,1<x 0<a,从而,当x∈(0,x 0)时,f′(x)>0,
当x∈(x 0,a)时,f′(x)<0,
当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,即f(x)在(0,x 0)内是增函数,
在(x 0,a)内是减函数,在(a,+∞)内是增函数
所以要使得对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e 2成立只要有
有h(x 0)=2lnx 0+1﹣
=0得a=2x 0lnx 0+x 0,将它代入
得4x 0 2ln 3x 0≤4e 2
又x 0>1,注意到函数4x 2ln 3x在(1,+∞)上是增函数故1<x 0≤e
再由a=2x 0lnx 0+x 0,及函数2xlnx+x在(1,+∞)上是增函数,可得1<a≤3e
由f(3e)=(3e﹣a) 2ln3e≤4e 2解得
,
所以得
综上,a的取值范围为