Question

已知x+y=4，x2+y2=14，那么x7+y7=______．

Answer 1

解题思路：通过x+y=4，x²+y²=14，利用完全平方式可求出xy的值．再运用立方差公式求出x³+y³的值，通过（x⁴+y⁴）（x³+y³）=x⁷+y⁷+x³y³（x+y）做变换x⁷+y⁷=（x⁴+y⁴）（x³+y³）-x³y³（x+y））=[（x²+y²）²-2x²y²]（x³+y³）-x³y³（x+y）．最后将x+y=4，x²+y²=14，xy=1代入变换后的式子，求出结果．

x+y=4，x²+y²=14，

∴xy=

1

2[(x+y)2−(x2+y2)]＝1，

∴x³+y³=（x+y）（x²+y²-xy）=4×（14-1）=52，

∵（x⁴+y⁴）（x³+y³）=x⁷+y⁷+x³y³（x+y），

∴x⁷+y⁷=（x⁴+y⁴）（x³+y³）-x³y³（x+y），

=[（x²+y²）²-2x²y²]（x³+y³）-x³y³（x+y），

=（14²-2）×1×52-1×4，

=10084．

故答案为：10084．

点评：

本题考点： 因式分解的应用；代数式求值．

考点点评： 本题考查因式分解、完全平方式、立方和公式．解决本题的关键是将x4+y4、x2+y2运用完全平方式，x3+y3运用立方差公式分解．