Question

已知数列{an}的通项公式an=[1(n+1)2（n∈N*），记f（n）=（1-a1）（1-a2）…（1-an）．

Answer 1

解题思路：（1）根据{a_n}的通项公式算出a₁，a₂，a₃，再代入f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），算出f（1），f（2），f（3）的值，然后由前三项推测出f（n）的值；

（2）第一步，先将n=1时代入猜想验证；第二步，写出假设（只需将f（n）中的n换成k即可），再利用f（n+1）=f（n）•（1-a_n+1），把a_k+1算出来连同假设一起代入上式，算出f（k+1）进行化简即可．

（1）由a_n=

1

(n+1)2（n∈N^*）得a₁=

1/4]，a₂=[1/9]，a₃=[1/16]，

将其代入f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）得f（1）=[3/4]，f（2）=[4/6]，f（3）=[5/8]，

猜想f（n）=[n+2/2n+2]，（n∈N^*）

（2）证明：①当n=1时，f（1）=[1+2/2×1+2＝

3

4]，由（1）可知，猜想成立．

②假设n=k时，猜想成立，即f（k）=[k+2/2k+2]成立，

由f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）可知f（k+1）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_k）（1+a_k+1）=f（k））（1-a_k+1）

=[k+2/2k+2]（1-

1

(k+2)2）

=

k+2

2(k+1)•

(k+2)2−1

(k+2)2

=

k+2

2(k+1)•

(k+3)(k+1)

(k+2)2

=

(k+1)+1

2(k+1)+2

即n=k+1时猜想也成立．

由①②可知，猜想对任意的正整数都成立．

点评：

本题考点： 数学归纳法；归纳推理．

考点点评： 第一步在验证时，一定是n的初始值n0；第二步证明n=k+1时的命题时，一定要用上归纳假设，否则就不是数学归纳法，同时要特别注意从n=k到n=k+1时命题之间的联系．