第18讲 面积计算（一）
一、知识要点
计算平面图形的面积时,有些问题乍一看,在已知条件与所求问题之间找不到任何联系,会使你感到无从下手.这时,如果我们能认真观察图形,分析、研究已知条件,并加以深化,再运用我们已有的基本几何知识,适当添加辅助线,搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”,就会使你顺利达到目的.有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征,添加一些辅助线,运用平移旋转、剪拼组合等方法,对图形进行恰当合理的变形,再经过分析推导,方能寻求出解题的途径.
二、精讲精练
【例题1】已知如图,三角形ABC的面积为8平方厘米,AE＝ED,BD=2/3BC,求阴影部分的面积.
【思路导航】阴影部分为两个三角形,但三角形AEF的面积无法直接计算.由于AE=ED,连接DF,可知S△AEF=S△EDF（等底等高）,采用移补的方法,将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积.
因为BD=2/3BC,所以S△BDF＝2S△DCF.又因为AE＝ED,所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF.
因此,S△ABC＝5 S△DCF.由于S△ABC＝8平方厘米,所以S△DCF＝8÷5＝1.6（平方厘米）,则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）.
练习1：
1．如图,AE＝ED,BC=3BD,S△ABC＝30平方厘米.求阴影部分的面积.
2．如图所示,AE=ED,DC＝1/3BD,S△ABC＝21平方厘米.求阴影部分的面积.
3．如图所示,DE＝1/2AE,BD＝2DC,S△EBD＝5平方厘米.求三角形ABC的面积.
【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,如图所示,已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积各是多少?
【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍,且高相等,可知：BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：S△ABO等于6,而△ABO与△AOD的高相等,底是△AOD的2倍.所以△AOD的面积为6÷2＝3.
因为S△ABD与S△ACD等底等高 所以S△ABO＝6
因为S△BOC是S△DOC的2倍 所以△ABO是△AOD的2倍 所以△AOD＝6÷2＝3.答：△AOD的面积是3.练习2：
1．两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,（如图所示）,已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积是多少?
2．已知AO＝1/3OC,求梯形ABCD的面积（如图所示）.
3．已知三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的长度为OD的3倍.求梯形ABCD的面积.（如图所示）.
【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分,且四边形AECF的面积为15平方厘米.求四边形ABCD的面积（如图所示）.
【思路导航】由于E、F三等分BD,所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形,它们的面积相等.同理,三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等.由此可知,三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍,三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍,从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍.
15×3＝45（平方厘米）
答：四边形ABCD的面积为45平方厘米.练习3：
1．四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分,且四边形AECG的面积为15平方厘米.求四边形ABCD的面积（如图）.
2．已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分,且阴影部分面积为15平方厘米.求四边形ABCD的面积（如图所示）.
3．如图所示,求阴影部分的面积（ABCD为正方形）.
【例题4】如图所示,BO＝2DO,阴影部分的面积是4平方厘米.那么,梯形ABCD的面积是多少平方厘米?
【思路导航】因为BO＝2DO,取BO中点E,连接AE.根据三角形等底等高面积相等的性质,可知S△DBC＝S△CDA；S△COB＝S△DOA＝4,类推可得每个三角形的面积.所以,
S△CDO＝4÷2＝2（平方厘米） S△DAB＝4×3＝12平方厘米 S梯形ABCD＝12+4+2＝18（平方厘米）
答：梯形ABCD的面积是18平方厘米.练习4：
1．如图所示,阴影部分面积是4平方厘米,OC＝2AO.求梯形面积.
2．已知OC＝2AO,S△BOC＝14平方厘米.求梯形的面积（如图所示）.
3．已知S△AOB＝6平方厘米.OC＝3AO,求梯形的面积（如图所示）.
【例题5】如图所示,长方形ADEF的面积是16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,求三角形ABC的面积.
【思路导航】连接AE.仔细观察添加辅助线AE后,使问题可有如下解法.
由图上看出：三角形ADE的面积等于长方形面积的一半（16÷2）＝8.用8减去3得到三角
形ABE的面积为5.同理,用8减去4得到三角形AEC的面积也为4.因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高,C为EF的中点,而三角形ABE与三角形BEC等底,高是三角形BEC的2倍,三角形BEC的面积为5÷2＝2.5,所以,三角形ABC的面积为16－3－4－2.5＝6.5.
练习5：
1．如图所示,长方形ABCD的面积是20平方厘米,三角形ADF的面积为5平方厘米,三角形ABE的面积为7平方厘米,求三角形AEF的面积.
2．如图所示,长方形ABCD的面积为20平方厘米,S△ABE＝4平方厘米,S△AFD＝6平方厘米,求三角形AEF的面积.
3．如图所示,长方形ABCD的面积为24平方厘米,三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米,求三角形AEF的面积.