Question

如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4的菱形，且∠DAB=60°，AC∩BD=O，A1C1∩B

Answer 1

解题思路：（1）证明平面O₁AC⊥平面O₁BD． 只需要证明面O₁BD中的一条直线垂直于平面O₁AC，即证BD⊥面O₁AC；

（2）用立体几何法，作出它的平面角，过O作OH⊥BC于H，连接O₁H，则∠O₁HO为二面角O₁-BC-D的平面角，再求之

（1）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，

∴AA₁⊥面AC，

又BD⊂面AC，所以AA₁⊥BD．（2分）

又∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD

∵AA₁∩AC=A

所以BD⊥面AA₁C．（4分）

即BD⊥面O₁AC，又BD⊂面O₁BD，

所以平面O₁AC⊥平面O₁BD．（6分）

（2）过O作OH⊥BC于H，连接O₁H，则∠O₁HO为二面角O₁-BC-D的平面角．（8分）

在Rt△BHO中，OB=2，∠OBH=60°，∴OH＝

3．（10分）

又O₁O∥A₁A，∴O₁O⊥OH．

∴tan∠O1OH＝

O1O

OH＝

3⇒∠O1HO＝

π

3．

故二面角O₁-BC-D的大小为[π/3]．（12分）

（注：向量解法，酌情给分）

点评：

本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题以直四棱柱为载体，考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是利用面面垂直的判定，正确作出面面角．