已知a>0且a≠1,f(logax)=[1a2−1(x-1/x]).

1个回答

  • 解题思路:(1)利用换元法:令t=logax⇒x=at,代入可得f(t)=

    1

    a

    2

    −1

    (

    a

    t

    1

    a

    t

    )

    ,(t∈R),从而可得函数f(x)的解析式

    (2)由(1)得f(x)定义域为R,

    f(x)=

    1

    a

    2

    −1

    (

    a

    x

    1

    a

    x

    )

    ①先证奇偶性:代入f(-x)=

    1

    a

    2

    −1

    (

    1

    a

    x

    −a

    x

    )=−f(x)

    ,从而可得函数为奇函数

    ②再证单调性:利用定义任取x1<x2,利用作差比较f(x1)-f(x2)的正负,从而确当f(x1)与f(x2)的大小,进而判断函数的单调性

    (1)令logax=t,则x=at,得f(t)=(at-a-r),(4分)

    所以f(x)=

    1

    a2−1(ax-a-x)(6分)

    (2)因为f(x)定义域为R,

    又f(-x)=

    1

    a2−1(a-x-ax

    =-

    1

    a2−1(ax-a-x)=-f(x),

    所以函数f(x)为奇函数(9分)

    任取x1<x2

    则f(x2)-f(x1)=

    1

    a2−1(ax2−ax1)(1+a−(x1+x2))(11分)

    因为当a>0且a≠1,恒有f(x2)-f(x1)>0,

    所以f(x)为增函数(13分)

    点评:

    本题考点: 对数函数图象与性质的综合应用;函数解析式的求解及常用方法;函数奇偶性的判断;指数函数的单调性与特殊点.

    考点点评: 本题重点考查了函数性质的三点:①利用换元法求函数的解析式,这是求函数解析式中最为重要的方法,要注意掌握,解答此类问题的注意点:换元后要确定新元的范围,从而可得所要求的函数的定义域②函数奇偶性的判断③利用定义判断函数单调性的步骤(i)任设x1<x2(也可x1>x2)(ii)作差f(x1)-f(x2)(iii)定号,给出结论.