Question

如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处

Answer 1

解题思路：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；

（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出AP+HC=PH；

（3）设QH=HC=x，则DH=4-x．在Rt△PDH中，根据勾股定理列出关于x的方程求解即可．

（1）证明：∵PE=BE，

∴∠EPB=∠EBP，

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．

即∠BPH=∠PBC．

又∵四边形ABCD为正方形

∴AD∥BC，

∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH．

（2）证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q，

由（1）知，∠APB=∠BPH，

在△ABP与△QBP中，

∠A＝∠BQP＝90°

∠APB＝∠BPH

BP＝BP，

∴△ABP≌△QBP（AAS），

∴AP=QP，BA=BQ．

又∵AB=BC，

∴BC=BQ．

又∵∠C=∠BQH=90°，

∴△BCH和△BQH是直角三角形，

在Rt△BCH与Rt△BQH中，

BC＝BQ

BH＝BH

∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），

∴CH=QH，

∴AP+HC=PH．

（3）由（2）知，AP=PQ=1，

∴PD=3．

设QH=HC=x，则DH=4-x．

在Rt△PDH中，PD²+DH²=PH²，

即3²+（4-x）²=（x+1）²，

解得x=2.4，

∴PH=3.4．

点评：

本题考点： 翻折变换（折叠问题）；勾股定理；正方形的性质．

考点点评： 此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．