解题思路：（I）考虑由函数f′（x）正负求出的单调区间；（Ⅱ）令h（a）=f（1）-f（-1）=a-1a-2lna，通过研究h（a）的单调性得出h（a）的正负性，确定f（1）与f（-1）的大小关系；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a＞1时，f（x）max=f（1）=a+1-lna，由题意知，f（x）max-f（x）min≤e-1，即a+1-lna-1≤e-1，a-lna-e+1≤0，求得a∈（1，e]．当0＜a＜1时，f（x）max=f（-1）=1a+1+lna，由题意知，f（x）max-f（x）min≤e-1，得a∈[1e，1）．
（Ⅰ）f′（x）=axlna+2x-lna，令g（x）=f′（x）=axlna+2x-lna，则g′（x）=axln2a+2＞0，∴g（x）为（-∞，+∞）上的增函数．
又∵g（0）=0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0，当x＜0时，g（x）＜g（0）=0，即f′（x）＜0．
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）．
（Ⅱ）f（1）-f（-1）=a+1-lna-[1/a]-1-lna=a-[1/a]-2lna，
设h（a）=a-[1/a]-2lna，则h′（a）=1+[1
a2-
2/a]=
a2−2a+1
a2=
(a−1)2
a2＞0．
故h（a）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递增，
当a∈（0，1）时，h（a）＜h（1）=0，即f（1）＜f（-1），
当a∈（1，+∞）时，h（a）＞h（1）=0，即f（1）＞f（-1）．
（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，
由（Ⅰ）知，f（x）min=f（0）=1，f（x）max=max{f（-1），f（1）}，
由（Ⅱ）知，当a＞1时，f（x）max=f（1）=a+1-lna，
由题意知，f（x）max-f（x）min≤e-1，
即a+1-lna-1≤e-1，a-lna-e+1≤0，（a∈（1，+∞））．
设F（a）=a-lna-e+1，则F′（a）=1-[1/a]=[a−1/a]＞0，
故F（a）在（1，+∞）单调递增．
又∵F（e）=e-1-e+1=0，由F（a）≤0，得a∈（1，e]．①
当0＜a＜1时，f（x）max=f（-1）=[1/a]+1+lna，
由题意知，f（x）max-f（x）min≤e-1，
即[1/a]+1+lna-1≤e-1，也就是[1/a]+lna-e+1≤0，
设F（a）=[1/a]+lna-e+1，则F′（a）=-[1
a2+
1/a]=[a−1
a2＜0，
故F（a）在（0，1）单调递减．
又∵F（
1/e]）=e-1-e+1=0，由F（a）≤0，得a∈[[1/e]，1）．②
综合①②可得a∈[[1/e]，1）∪（1，e]．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题是函数与导数综合题目，考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，恒成立问题，考查分析解决问题的能力．