解题思路：（1）根据函数f（x）=
1
2]x2+alnx在[1，e]上是增函数，则
f′(x)＝x+
a
x
≥0
在[1，e]上恒成立，由此转化为函数恒成立问题，并用参变量分离转化为a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．
（2）根据题中条件，a=1求出函数f（x）的解析式，将不等式变形，构造一个新的函数F（x），再根据F（x）的导函数在[1，e]上恒小于0，所以得到F（x）单调递减，从而求出F（x）在[1，e]上的最值小于0，即可证得f（x）
＜
2
3
x3．
（1）f′(x)＝x+
a
x，且在[1，e]上是增函数，
∴f′(x)＝x+
a
x≥0恒成立，即a≥-x2在[1，e]上恒成立，
∴a≥-1 …（6分）
（2）证明：当a=1时，f（x）=[1/2x2+lnx，x∈[1，e]，
令F（x）=f（x）-
2
3x3＝
1
2x2+lnx−
2
3x3，
∴F′(x)＝x+
1
x−2x2＝
(1−x)(1+x+2x2)
x≤0，
∴F（x）在[1，e]上是减函数，
∴F(x)≤F(1)＝
1
2−
2
3＜0．
∴x∈[1，e]时，f(x)＜
2
3x3．…（12分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性，已知函数的单调区间可以将问题转化为该单调区间上的恒成立问题，恒成立问题解决的基本思路是参变量分离．本题还涉及了构造新函数的思想以及用作差法比较两个数的大小问题，要能利用导数求出某区间上的最值问题．属中档题．
1年前
6
回答问题，请先
登录
·
注册
可能相似的问题
已知函数f（x）=x2+alnx的图象与直线l：y=-2x+c相切，切点的横坐标为1．
1年前
1个回答
（2012•平遥县模拟）已知函数f（x）=x2+alnx
1年前
1个回答
已知函数f（x）=x2+alnx．
1年前
1个回答
（2007•石景山区一模）已知函数f（x）=x2+alnx．
1年前
1个回答
已知函数f（x）=x2 alnx若gx=fx 2
1年前
2个回答
已知函数f（x）=x2+alnx的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率为10．
1年前
1个回答
（2011•花都区模拟）已知函数f（x）=x2+alnx．
1年前
1个回答
已知函数f（x）=x2+alnx
1年前
1个回答
一道导数数学题：已知函数f（x）=x2+alnx（a为常数）．（1）若a=-4,讨论f（x）的单调性；（2）若a≥-4,
1年前
3个回答
已知函数f（x）=x2+alnx+2．
1年前
1个回答
已知函数f（x）=x2+alnx
1年前
2个回答
已知函数f（x）=x2+alnx（a∈R）
1年前
1个回答
已知函数f（x）=x2+alnx（x＞0）
1年前
1个回答
已知函数f（x）=x2+alnx（a∈R）
1年前
1个回答
已知函数f（x）=x2+alnx若gx=fx+2/x在[1，4]上是减函数，求a的范围
1年前
已知函数f（x）=x2+alnx．当a=-2e时，求函数f（x）的单调区间和极值．
1年前
（2011•徐州模拟）已知函数f（x）=x2+x，x≤0ax2+bx，x＞0为奇函数，则a+b=______．
1年前
1个回答
已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx，设f′（x）表示f（x）的导函数．（1）求f′（π2）的值；（2）若曲线y
1年前
1个回答
已知函数h（x）=x2，φ（x）=2elnx（其中e为自然对数）
1年前
1个回答
已知函数f（x）=x2+2x+3,当x∈[-2,2]时,g（x）=f（x）-kx是递减函数,求实数k的取值范围
1年前
4个回答
你能帮帮他们吗
—What time do you usually get up?
1年前
1个回答
把所有成语写在横线上
1年前
悬赏5滴雨露
1个回答
一个占地1公顷的正方形绿色基地 各边长均增加100米后 绿色基地的面积增加多少公顷
1年前
悬赏5滴雨露
48、 刀具材料的常温硬度应在( )以上.A．HRC60 B．HRC50 C．HRC40 D．HRC35
1年前
1个回答
硫酸和氯化钡和氢氧化钠混合,反应的顺序是怎样的?酸碱盐三者在一起,总是酸和碱先反应吗?
1年前
悬赏5滴雨露
4个回答
精彩回答
从九边形的一个顶点出发，可以引出______条对角线，它们将九边形分成______个三角形．
4个月前
悬赏5滴雨露
1个回答
下列说法可以实现的是 [ ] ①酸性氧化物均能与碱发生反应 ②弱酸溶液与强酸盐溶液反应可以生成强酸 ③发生复分解反应，但产物既没有水生成，也没有沉淀和气体生成 ④两种酸溶液充分反应后，所得溶液呈中性 ⑤有单质参加反应，但该反应不是氧化还原反应
4个月前
悬赏5滴雨露
1个回答
谁知道蝙蝠的超声波是由哪个器官发出的?
11个月前
悬赏5滴雨露
1个回答
Do you know the Money King, the great hero of the Chinese story Journey to the West?
1年前
1个回答
写近义词。 顿时——（ ） 鼓励——（ ） 召唤——（ ） 敬爱——（ ）
1年前
悬赏5滴雨露
1个回答
Copyright © 2021 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 17 q. 0.045 s. - webmaster@yulucn.com