（1）a=4时，f（x）=4 x-4•2 x+1+9=4 x-8•2 x+9，x∈[0，2]，
设t=2 x，得t∈[1，4]，
f（x）=g（t）=t 2-8t+9=（t-4） 2-7
∵t=2 x在区间[0，2]上是增函数，且g（t）=（t-4） 2-7在区间[1，4]上是减函数，
∴f（x）=4 x-4•2 x+1+9在区间[0，2]上是单调递减函数；
（2）令t=2 x，得t∈[1，4]，f（x）=g（t）=t 2-2at+9，
∵t=2 x在[0，2]上是增函数，且g（t）=t 2-2at+9在（-∞，a]或[a，+∞）上是单调函数
∴区间[1，4]是（-∞，a]的子集，或[1，4]是[a，+∞）的子集
由此可得a≥4或a≤1，即a的取值范围为（-∞，1]∪[4，+∞）；
（3）由（2）可得
①当a≤1时，f（x）在区间[0，2]上是增函数，
∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（0）≥0，解之得a≤5
综合可得：a≤1；
②当a≥4时，f（x）在区间[0，2]上是减函数，
∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（2）≥0，解之得a≤
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综合可得找不出实数a的取值；
③当1＜a＜4时，f（x）在区间[0，2]上先减后增，
∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（log 2a）≥0，解之得-3≤a≤3
综合可得：1＜a≤3
综上所述，若f（x）≥0在[0，2]上恒成立，实数a的取值范围为（-∞，3]．