Question

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足以下三个条件：①f（1）=1；②对任意的x∈[0，1]，都有f（x）≥0

Answer 1

解题思路：（1）根据抽象函数的定义，利用赋值法即可求f（0）的值；

（2）根据条件判断函数的单调性，即可求f（x）的最大值；

（3）根据不等式恒成立的等价条件即可证明：当

x∈[

1

4

，1]

时，恒有2x≥f（x）．

（1）令x∈[0，1]，y=0，则有f（x）=f（x+0）≥f（x）+f（0），

∴有f（0）≤0，

又根据条件（2）可知f（0）≥0，

故f（0）=0．（也可令x=y=0）．

（2）设0≤x₁＜x₂≤1，

则有f（ x₂）=f（ x₂-x₁+x₁）≥f（ x₂-x₁）+f（ x₁）≥f（ x₁），

即f（x）为增函数（严格来讲为不减函数），

∴f（x）≤f（1）=1，

故f（x）_max=1．

（3）当x∈[

1

2，1]，有2x≥1，

又由（2）可知f（x）≤1，

∴有2x≥f（x）对任意的x∈[

1

2，1]恒成立．

当x∈[

1

4，

1

2)，有，又由（2）可知f(x)≤f(

1

2)＝

f(

1

2)+f(

1

2)

2≤

f(

1

2+

1

2)

2＝

1

2，

∴有2x≥f（x）对任意x∈[

1

4，

1

2)，恒成立．

综上．对任意x∈[

1

4，1]，恒有2x≥f（x）成立．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，考查学生的运算能力，综合性较强．