Question

已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，d＞0，利用等差数列的通项表示已知，求解出d，a₁，结合等差数列的通项即可求解

（Ⅱ）由b₁=1，b₂=2可求

b

n

＝

2

n−1

，

c

n

＝

a

n

•

b

n

＝(2n−1)•

2

n−1

，结合数列的特点，考虑利用错位相减求解数列的和

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，则依题设d＞0

由a₂+a₇=16．得2a₁+7d=16①---------------（1分）

由a₃a₆=55得（a₁+2d）（a₁+5d）=55②---------------（2分）

由①得2a₁=16-7d将其代入②得（16-3d）（16+3d）=220．

即256-9d²=220

∴d²=4，又d＞0

∴d=2，代入①得a₁=1，---------------（3分）

∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1．------------------（4分）

（Ⅱ）b₁=1，b₂=2

∴bn＝2n−1

∴cn＝an•bn＝(2n−1)•2n−1，---------------（5分）

Sn＝1•20+3•21+…+(2n−1)•2n−1

2Sn＝1•21+3•22+…+(2n−1)•2n---------------（6分）

两式相减可得：−Sn＝1•20+2•21+2•22+…+2•2n−1−(2n−1)•2n

=1+2×

2(1−2n−1)

1−2-（2n-1）•2ⁿ

∴−Sn＝1+

4(1−2n−1)

1−2−(2n−1)•2n＝1+2n+1−4−(2n−1)•2n=2ⁿ⁺¹-3-（2n-1）•2ⁿ---------------（7分）

∴Sn＝3+(2n−1)•2n−2n+1＝3+(2n−3)•2n---------------（8分）

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式．

考点点评： 本题主要考查了利用首项及公差表示等差数列的项，解答此类问题的关键是熟练应用通项公式，错位相减求解数列的和是数列求和的难点．