已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d=2， - 知识问答

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d=2，且S5=4a3+6．

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解题思路：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由已知条件得
b
n
＝
a
n
•
c
n−1
＝2n•
c
n−1
．当c-1时，b_n=2n．
T
n
＝
n(2+2n)
2
=n（n+1）=n²+n；当c≠1时，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．
（本小题满分13分）
（Ⅰ）因为公差d=2，且S₅=4a₃+6，
所以5a₁+[5×4/2×2＝4[a1+(3−1)×2]+6．…（2分）
解得a₁=2．…（4分）
所以等差数列{a_n}的通项公式为a_n=2n．…（5分）
（Ⅱ）因为数列{
bn
an]}是首项为1，公比为c的等比数列，
所以
bn
an＝cn−1．…（6分）
所以bn＝an•cn−1＝2n•cn−1．…（7分）
（1）当c-1时，b_n=2n．…（8分）
所以Tn＝
n(2+2n)
2=n（n+1）=n²+n．…（9分）
（2）当c≠1时，Tn＝2•c0+4•c+6•c2+…+2(n−1)•cn−2+2n•c^n-1，①…（9分）
cTn＝2c+4c2+6c3+…+2(n−1)•cn−1+2n•cn，②…（10分）
①-②得(1−c)Tn＝2c0+2c1+2c2+…+2cn−1-2n•cⁿ…（11分）
=
2(1−cn)
1−c−2n•cn，…（12分）
∴Tn＝
2(1−cn)
(1−c)2−
2ncn
1−c．…（13分）
点评：
本题考点：数列的求和；等比数列的性质．
考点点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．

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