解题思路：（1）利用作差进行比较，将
1
2
[f(
x
1
)+f(
x
2
)]
与
f(
x
1
+
x
2
2
)
进行作差然后配方，讨论系数的符号确定大小关系；
（2）当x=0时，|f（x）|=0符合题意，当x∈（0，1]时，|f（x）|≤1，然后将a分离出来，求出不等式另一边的最值即可求出a的范围．
（1）
1
2[f(x1)+f(x2)]−f(
x1+x2
2)＝
a
4(x1−x2)2
当a＞0时，
1
2[f(x1)+f(x2)]−f(
x1+x2
2)≥0，
即
1
2[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2)；
当a＜0时，
1
2[f(x1)+f(x2)]≤f(
x1+x2
2)．
（2）∵x∈[0，1]
当x=0时，|f（x）|=0符合题意；
当x∈（0，1]时，|f（x）|≤1
即
ax2+x≤1
ax2+x≥−1]∴
a≤
1
x2−
1
x
a≥−
1
点评：
本题考点： 函数与方程的综合运用．
考点点评： 本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及作差比较法和参数分离法的运用，属于基础题．