Question

一开口向上的抛物线与x轴交于A（m-2，0），B（m+2，0）两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC。 （1）若m为常数，

Answer 1

（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-m+2）（x-m-2）=a（x-m） ²-4a，

∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB为等腰直角三角形，又AB=4，

∴C（m，-2）代入得a=

，

∴解析式为：y=

（x-m） ²-2；

（2）∵m为小于0的常数，

∴只需将抛物线向右平移-m个单位，再向上平移2个单位，

可以使抛物线y=

（x-m） ²-2顶点在坐标原点；

（3）由（1）得D（0，

m ²-2），设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形，

∵△BOD为直角三角形，

∴只能OD=OB，

∴

m ²-2=|m+2|，

当m+2>0时，解得m=4或m=-2（舍），

当m+2<0时，解得m=0（舍）或m=-2（舍）；

当m+2=0时，即m=-2时，B、O、D三点重合（不合题意，舍），

综上所述：存在实数m=4，使得△BOD为等腰三角形。