Question

（2010•四川）已知定点A（-1，0），F（2，0），定直线l：x=[1/2]，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）设P（x，y），欲求点P的轨迹方程，只须求出x，y之间的关系式即可，结合题中条件：“动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍”利用距离公式即得；

（Ⅱ）先分类讨论：①当直线BC与x轴不垂直时；②当直线BC与x轴垂直时，对于第①种情形，设BC的方程为y=k（x-2），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合向量垂直的关系利用向量的坐标运算即可求得结论，从而解决问题．对于第②种情形，由于直线方程较简单，直接代入计算即可验证．

（Ⅰ）设P（x，y），则

(x-2)2+y2=2|x-

1

2|

化简得x²-

y2

3=1（y≠0）；

（Ⅱ）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x-2）（k≠0）

与双曲线x²-

y2

3=1联立消去y得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0

由题意知3-k²≠0且△＞0

设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则

x1+x2=

4k2

k2-3

x1x2=

4k2+3

k2-3

y₁y₂=k²（x₁-2）（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=k²（

4k2+3

k2-3-

8k2

k2-3+4）=

-9k2

k2-3

因为x₁、x₂≠-1，所以直线AB的方程为y=

y1

x1+1（x+1）

因此M点的坐标为（[1/2，

3y1

2(x1+1)]）

点评：

本题考点： 圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．