解: |A-λE| =
3-λ 2 -2
-k -1-λ k
4 2 -3-λ
= - λ^3 - λ^2 + λ + 1
= -(λ - 1)(λ + 1)^2
A的特征值为 -1,-1,1.
对特征值-1, 必有2个线性无关的特征向量才能使A相似于对角矩阵
即 r(A+E)=1. 而
A+E =
4 2 -2
-k 0 k
4 2 -2
所以 k = 0
此时 A+E -->
2 1 -1
0 0 0
0 0 0
(A+E)X=0 的基础解系为: a1=(1,-2,0)',a2=(0,1,1)'
对特征值1, A-E =
2 2 -2
0 -2 0
4 2 -4
--> r1+r2,r3+r2,r3-2r1,r2*(-1/2), r1*(1/2)
1 0 -1
0 1 0
0 0 0
(A-E)X=0 的基础解系为: a3=(1,0,1)'.
令P = (a1,a2,a3), 则有 P^(-1)AP = diag(-1,-1,1).
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