Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，直线CD与AB的延长线交于点D，∠COB=2∠DCB．

Answer 1

解题思路：（1）要证CD是⊙O的切线，得证OC⊥CD，即证∠OCD=90°，由已知OA=OC，得∠OCA=∠OAC，∠COB=∠OCA+∠OAC=2∠OCA（三角形外角性质），又已知，∠COB=2∠DCB．所以∠OCA=∠DCB，AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，通过等量代换得∠OCD=90°，即OC⊥CD．（2）连接BE、AE，由已知点E是AB的中点，得AE=BE，∠BCE=∠EBF（相等弧所对的圆周角相等），又∠BEC=∠BEC，所以得到△BCE∽△FBE，即得：EFBE=BEEC⇒EF•EC=BE2，由AB是⊙O的直径，点E是AB的中点，得等腰直角三角形，根据勾股定理可求出BE，从而求得EF•EC的值．

（1）证明：∵∠COB=∠A+∠OCA（三角形外角定理），

OA=OC，∴∠A=∠OCA，

∴∠COB=2∠OCA（等量代换），

又已知，∠COB=2∠DCB，

∴∠OCA=∠DCB，

又AB是⊙O的直径，

∴∠OCA+∠BCO=90°，

∴∠DCB+∠BCO=90°（等量代换），

即∠DCO=90°，

∴CD⊥OC，

∴CD是⊙O的切线．

（2）连接AE、BE，

∵AB是⊙O的直径，点E是

AB的中点（已知），

∴∠AEB=90°，AE=BE，

∴AE²+BE²=AB²（勾股定理），

∴2BE²=4²，

∴BE²=8，

∵点E是

AB的中点，

∴

AE=

BE，

∴∠EBF=∠ECB（相等弧所对的圆周角相等），

∠FEB=∠BEC，

∴△BEF∽△CEB，

∴[EF/BE]=[BE/EC]，

∴EF•EC=BE²=8．

点评：

本题考点： 切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 此题考查的知识点是切线的判定、圆周角定理、勾股定理及相似性的判定与性质，解题的关键是：（1）通过已知证∠DCO=90°．（2）由已知先根据勾股定理求出BE，再由点E是AB的中点，得出∠EBF=∠ECB，得出△BEF∽△CEB，从而得出答案．