game这个单词有诸多含义,作为名词来用,常见的就是 “游戏” 和 “比赛“ （即match的同义词）
例：a video game 电子游戏
例：a basketball game 篮球比赛
"for the good of the game" 就是说为了比赛好,或为了游戏好.
例：Every player needs to follow the rules,no exception,this is for the good of the game.
每个选手都要遵守规则,没有例外,这是为了比赛好.
附赠：根据剑桥辞典的定义,game 也可以做形容词,表“愿意,敢做某事”."She's game for anything" = She will try anthing ( that's new or risky) 她任何事情都敢尝试
P.S:我在美国住了11年了,请相信我的专业水平.