一道关于质点运动的排列组合题一个质点从原点出发沿X轴或Y轴的正方向或负方向跳动十次后到点(2,4),共有多少种运动方法?

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  • 先分解为2个小问题:

    一,水平方向的跳动.要求跳动最终结果 :向x正方向移动2格.

    二,竖直方向的跳动.要求跳动最终结果 :向y正方向移动4格.

    数学建模解决第一问题:

    记 向x轴正方向跳动一次 为+1;

    记 向x轴负方向跳动一次 为-1;

    则,“要求跳动最终结果 :向x正方向移动2格.”即可理解为由“若干个+1或-1的和为+2”

    例如 +1+1=+2 (排列方法 1种)

    “ 右右”-------对应跳动方法

    +1+1+1-1=+2 +1+1-1+1=+2 +1-1+1+1=+2 -1+1+1+1=+2(排列方法C41= 4种)

    右右右左 右右左右 右左右右 左右右右

    +1+1+1+1-1-1=+2 .(排列方法C62=15种)

    右右右右左左 .

    数学建模解决第二问题:

    记 向y轴正方向跳动一次 为+1;

    记 向y轴负方向跳动一次 为-1;

    则,“要求跳动最终结果 :向y正方向移动4格.”即可理解为由“若干个+1或-1的和为+4”

    例如 +1+1+1+1=+4 (排列方法 1种)

    上上上上-------对应跳动方法

    +1+1+1+1+1-1=+4 (排列方法C61= 6种)

    上上上上上下

    +1+1+1+1+1+1-1-1=+4 .(排列方法C82=28种)

    上上上上上上下下 .

    由上举例可知:“向x正方向移动2格”需要跳动次数为偶数次,2,4,6,等.但是不止有左右方向的跳动,还有上下方向的跳动,总次数为10步,所以分配方案有3个:

    第一方案:左右2步,上下8步. 方法数为 1*28=28

    第二方案:左右4步,上下6步. 方法数为 4*6=24

    第三方案:左右6步,上下4步. 方法数为 15*1=15

    所以总方法数为28+24+15=67