解题思路:(Ⅰ)由题意,任取x1、x2∈[2,+∞),且x1<x2,然后作差即可判断出实数m的取值范围;(Ⅱ)不等式f(x)≤kx在x∈[12,1]有解可转化为x∈[12 , 1]时,k≥mx2+2x+1有解,由此得k≥(mx2+2x+1)min,故问题转化为求(mx2+2x+1)min.
(Ⅰ)由题意,任取x1、x2∈[2,+∞),且x1<x2,
则f(x2)−f(x1)=x2+
m
x2+2−(x1+
m
x1+2)=(x2−x1)•
x1x2−m
x1x2>0,…(2分)
因为x2-x1>0,x1x2>0,所以x1x2-m>0,即m<x1x2,…(4分)
由x2>x1≥2,得x1x2>4,所以m≤4.所以,m的取值范围是(-∞,4].…(6分)
(Ⅱ)由f(x)≤kx,得x+
m
x+2≤kx,
因为x∈[
1
2 , 1],所以k≥
m
x2+
2
x+1,…(7分)
令t=
1
x,则t∈[1,2],所以k≥mt2+2t+1,令g(t)=mt2+2t+1,t∈[1,2],
于是,要使原不等式在x∈[
1
2 , 1]有解,当且仅当k≥g(t)min(t∈[1,2]). …(9分)
因为m<0,所以g(t)=m(t+
1
m)2+1−
1
m图象开口向下,对称轴为直线t=−
1
m>0,
因为t∈[1,2],故当0<−
1
m≤
3
2,即m≤−
2
3时,g(t)min=g(2)=4m+5;
当−
1
m>
3
2,即−
2
3<m<0时,g(t)min=g(1)=m+3. …(13分)
综上,当m≤−
2
3时,k∈[4m+5,+∞);
当−
2
3<m<0时,k∈[m+3,+∞).…(14分)
点评:
本题考点: 函数恒成立问题;函数单调性的性质.
考点点评: 本考查函数恒成立问题,函数的单调性的应用,函数单调性的定义应用,综合性强,考查了转化思想,分类讨论的思想