已知函数f(x)=x+[m/x]+2(m为实常数).

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)由题意,任取x1、x2∈[2,+∞),且x1<x2,然后作差即可判断出实数m的取值范围;(Ⅱ)不等式f(x)≤kx在x∈[12,1]有解可转化为x∈[12 , 1]时,k≥mx2+2x+1有解,由此得k≥(mx2+2x+1)min,故问题转化为求(mx2+2x+1)min.

    (Ⅰ)由题意,任取x1、x2∈[2,+∞),且x1<x2

    则f(x2)−f(x1)=x2+

    m

    x2+2−(x1+

    m

    x1+2)=(x2−x1)•

    x1x2−m

    x1x2>0,…(2分)

    因为x2-x1>0,x1x2>0,所以x1x2-m>0,即m<x1x2,…(4分)

    由x2>x1≥2,得x1x2>4,所以m≤4.所以,m的取值范围是(-∞,4].…(6分)

    (Ⅱ)由f(x)≤kx,得x+

    m

    x+2≤kx,

    因为x∈[

    1

    2 , 1],所以k≥

    m

    x2+

    2

    x+1,…(7分)

    令t=

    1

    x,则t∈[1,2],所以k≥mt2+2t+1,令g(t)=mt2+2t+1,t∈[1,2],

    于是,要使原不等式在x∈[

    1

    2 , 1]有解,当且仅当k≥g(t)min(t∈[1,2]). …(9分)

    因为m<0,所以g(t)=m(t+

    1

    m)2+1−

    1

    m图象开口向下,对称轴为直线t=−

    1

    m>0,

    因为t∈[1,2],故当0<−

    1

    m≤

    3

    2,即m≤−

    2

    3时,g(t)min=g(2)=4m+5;

    当−

    1

    m>

    3

    2,即−

    2

    3<m<0时,g(t)min=g(1)=m+3. …(13分)

    综上,当m≤−

    2

    3时,k∈[4m+5,+∞);

    当−

    2

    3<m<0时,k∈[m+3,+∞).…(14分)

    点评:

    本题考点: 函数恒成立问题;函数单调性的性质.

    考点点评: 本考查函数恒成立问题,函数的单调性的应用,函数单调性的定义应用,综合性强,考查了转化思想,分类讨论的思想