解题思路：（1）令x=y=0，可得f（0）=0．令y=-x，可得f（-x）=-f（x），所以函数f（x）是奇函数．
（2）设-1＜x1＜x2＜1，则有
f(
x
1
)−f(
x
2
) ＝f(
x
1
) +f(−
x
2
) ＝
f(
x
1
−
x
2
)
1−
x
1
x
2
＞0，所以f（x）在（-1，1）上是减函数．
（1）令x=y=0，得f（0）+f（0）=f（0），∴f（0）=0．
令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
（2）设-1＜x1＜x2＜1，
则有f(x1)−f(x2) ＝f(x1) +f(−x2) ＝
f(x1−x2)
1−x1x2
∵-1＜x1＜x2＜1，∴-1＜x1-x2＜0，
∴f（x1-x2）＞0，0＜x1x2＜1，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上是减函数．
点评：
本题考点： 数列的应用．
考点点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．