如图,在等腰△ABC中AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC于点D,点P是BA延长线上一点,点O是线段AD上一点,O

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  • 解题思路:①连接OB,根据AD⊥BC,AB=AC,可知AD是CB中垂线,即可证明OB=OC,即可得OB=OC=OP,即可得点O是△PBC的外心;

    ②易证得△OPC是等边三角形,即可得∠OAM=∠CPM=60°,又由对顶角相等,即可证得△MAO∽△MPC;

    ③首先在AC上截取AE=PA,易得△APE是等边三角形,继而利用证得△OPA≌△CPE,即可得AC=AO+AP;

    ④过点C作CH⊥AB于H,易得S△ABC=[1/2]AB•CH,S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC=[1/2]AP•CH+[1/2]OA•CD=[1/2]AP•CH+[1/2]OA•CH=[1/2]CH•(AP+OA)=[1/2]CH•AC,即可得S△ABC=S四边形AOCP

    ①连接OB,

    ∵在等腰△ABC中AB=AC,AD⊥BC,

    ∴BD=CD,

    ∴OB=OC,

    ∵OP=OC,

    ∴点O是△PBC的外心;

    故①正确;

    ②∵在等腰△ABC中AB=AC,∠BAC=120°,

    ∴∠ABC=∠ACB=[180°−∠BAC/2]=30°,

    ∴∠AOC=2∠ABC=60°,

    ∵OP=OC,

    ∴△OPC是等边三角形,

    ∴∠OPC=60°,

    ∵∠OAM=[1/2]∠BAC=60°,

    ∴∠OAM=∠CPM,

    ∵∠AMO=∠CMP,

    ∴△MAO∽△MPC;

    故②正确;

    ③在AC上截取AE=PA,

    ∵∠PAE=180°-∠BAC=60°,

    ∴△APE是等边三角形,

    ∴∠PEA=∠APE=60°,PE=PA,

    ∴∠APO+∠OPE=60°,

    ∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°,

    ∴∠APO=∠CPE,

    ∵OP=CP,

    在△OPA和△CPE中,

    PA=PE

    ∠APO=∠CPE

    OP=CP ,

    ∴△OPA≌△CPE(SAS),

    ∴AO=CE,

    ∴AC=AE+CE=AO+AP;

    故③正确;

    ④过点C作CH⊥AB于H,

    ∵∠PAC=∠DAC=60°,AD⊥BC,

    ∴CH=CD,

    ∴S△ABC=[1/2]AB•CH,S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC=[1/2]AP•CH+[1/2]OA•CD=[1/2]AP•CH+[1/2]OA•CH=[1/2]CH•(AP+OA)=[1/2]CH•AC,

    ∵AB=AC,

    ∴S△ABC=S四边形AOCP

    故④错误.

    故选C.

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;三角形的外接圆与外心.

    考点点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形外接圆的知识.此题综合性很强,难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.