解题思路:①连接OB,根据AD⊥BC,AB=AC,可知AD是CB中垂线,即可证明OB=OC,即可得OB=OC=OP,即可得点O是△PBC的外心;
②易证得△OPC是等边三角形,即可得∠OAM=∠CPM=60°,又由对顶角相等,即可证得△MAO∽△MPC;
③首先在AC上截取AE=PA,易得△APE是等边三角形,继而利用证得△OPA≌△CPE,即可得AC=AO+AP;
④过点C作CH⊥AB于H,易得S△ABC=[1/2]AB•CH,S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC=[1/2]AP•CH+[1/2]OA•CD=[1/2]AP•CH+[1/2]OA•CH=[1/2]CH•(AP+OA)=[1/2]CH•AC,即可得S△ABC=S四边形AOCP.
①连接OB,
∵在等腰△ABC中AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,
∴OB=OC,
∵OP=OC,
∴点O是△PBC的外心;
故①正确;
②∵在等腰△ABC中AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠ABC=∠ACB=[180°−∠BAC/2]=30°,
∴∠AOC=2∠ABC=60°,
∵OP=OC,
∴△OPC是等边三角形,
∴∠OPC=60°,
∵∠OAM=[1/2]∠BAC=60°,
∴∠OAM=∠CPM,
∵∠AMO=∠CMP,
∴△MAO∽△MPC;
故②正确;
③在AC上截取AE=PA,
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°,
∴△APE是等边三角形,
∴∠PEA=∠APE=60°,PE=PA,
∴∠APO+∠OPE=60°,
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°,
∴∠APO=∠CPE,
∵OP=CP,
在△OPA和△CPE中,
PA=PE
∠APO=∠CPE
OP=CP ,
∴△OPA≌△CPE(SAS),
∴AO=CE,
∴AC=AE+CE=AO+AP;
故③正确;
④过点C作CH⊥AB于H,
∵∠PAC=∠DAC=60°,AD⊥BC,
∴CH=CD,
∴S△ABC=[1/2]AB•CH,S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC=[1/2]AP•CH+[1/2]OA•CD=[1/2]AP•CH+[1/2]OA•CH=[1/2]CH•(AP+OA)=[1/2]CH•AC,
∵AB=AC,
∴S△ABC=S四边形AOCP.
故④错误.
故选C.
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;三角形的外接圆与外心.
考点点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形外接圆的知识.此题综合性很强,难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.