Question

（理）设a＞0，a≠1为常数，函数f(x)＝logax−5x+5

Answer 1

解题思路：（1）将对数的真数当成一个函数，可以用定义证明它在区间（-∞，-5）内的单调性，再讨论底数a与1的大小关系得到相应的情况下真数的大小关系，即可得函数f（x）在区间（-∞，-5）内的单调性；

（2）化函数g（x）=1+log_a（x-3））为g（x）=log_aa（x-3），方程f（x）=g（x）即为它们的真数都大于零且相等，采用变量分离的方法，转化为求函数F（x）=

x−5

(x+5)(x−3)

在区间（5，+∞）上的值域，实数a的取值范围就应该属于这个值域．

（1）设t=[x−5/x+5]，任取x₂＜x₁＜-5，则

t₂-t₁=

x2−5

x2+5-

x1−5

x1+5

=

(x1+5)(x2−5)−(x2+5)(x1−5)

(x2+5)(x1+5)

=

10( x2−x1)

(x2+5)(x1+5)．

∵x₁＜-5，x₂＜-5，x₂＜x₁，

∴x₁+5＜0，x₂+5＜0，x₂-x₁＜0．

∴

10(x2−x1)

(x2+5)(x1+5)＜0，即t₂＜t₁．

当a＞1时，y=log_ax是增函数，∴log_at₂＜log_at₁，即f（x₂）＜f（x₁）；

当0＜a＜1时，y=log_ax是减函数，∴log_at₂＞log_at₁，即f（x₂）＞f（x₁）．

综上可知，当a＞1时，f（x）在区间（-∞，-5）为增函数；

当0＜a＜1时，f（x）在区间（-∞，-5）为减函数．

（2）g（x）=1+log_a（x-3）=log_aa（x-3），

方程f（x）=g（x）等价于：

a(x−3)＝

x−5

x+5

x＞3

x＜−5或x＞5

即方程a＝

x−5

(x+5)(x−3)在区间（5，+∞）上有解，

∵[

x−5

(x+5)(x−3)] /＝

−x2+10x−5

(x+5) 2(x−3)2=

−[x−(5−2

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题着重考查了函数单调性的判断与证明、根的存在性及根的个数判断等知识点，在解题时应该注意分类讨论与数形结合等数学思想的应用．