若m2=m+1,n2-n-1=0且m≠n,试求代数式m7+n7的值.

1个回答

  • 解题思路:由m2=m+1,得m2-m-1=0,又由n2-n-1=0,知m,n是方程x2-x-1=0的两根,由根与系数关系,得m+n=1,mn=-1,依此可求m2+n2,m4+n4,m6+n6的值,再将代数式m7+n7变形为m6+n6+m4+n4+m2+n2+1即可求解.

    由m2=m+1,得m2-m-1=0,又由n2-n-1=0,知m,n是方程x2-x-1=0的两根,

    由根与系数关系,得m+n=1,mn=-1,

    所以m2+n2=(m+n)2-2mn=1+2=3,m4+n4=(m2+n22-2m2n2=9-2=7,

    又因为(m2+n2)(n4+n4)=m6+m2n4+m4n2+n6即21=m6+n6+m2n2(m2+n2),

    解得m6+n6=21-3=18,

    所以m7+n7=(m+n)(m6-m5n+m4n2+m3n3-m2n4-mn5+n6

    =m6-m5n+m4n2+m3n3-m2n4-mn5+n6

    =m6+n6+m4-m3n+m2n2-mn3+n4(mn=-1代入)

    =m6+n6+m4+n4+m2+n2+1

    =18+7+3+1

    =29.

    点评:

    本题考点: 因式分解的应用.

    考点点评: 本题考查因式分解的运用,注意运用整体代入法求解.