Question

曲线y=x4x2−1arctan[1/x]的斜渐近线为______．

Answer 1

解题思路：只需根据斜渐近线的定义，若

lim

x→∞

f(x)

x

＝a

，

lim

x→∞

[f(x)−ax]＝b

，则y=ax+b是其斜渐近线，即可求出来．

∵x→∞时，arctan

1

x～[1/x]

∴

lim

x→∞

y

x＝

lim

x→∞

x4

x(x2−1)•

1

x＝1

又由泰勒公式，得arctan

1

x＝

1

x+o(

1

x3)，从而

x4

x2−1arctan

1

x＝(x2+1)[

1

x+o(

1

x3)]+

1

x2−1[

1

x+O(

1

x3)]＝x+

1

x+o(

1

x3)(x→∞)，

lim

x→∞(y−x)＝0

故y=x是曲线的斜渐近线．

点评：

本题考点： 计算渐近线．

考点点评： 此题考查了斜渐近线的求法以及用泰勒公式求极限，因此常见函数的泰勒展式要熟悉．