Question

已知圆O1：（x-3）2+（y-1）2=1，设点p（x，y）是圆O1上的动点．

Answer 1

解题思路：①求出圆心到直线l：x+y-1=0距离，即可求P点到直线l：x+y-1=0距离的最值，从而求对应P点坐标；②利用yx=t，y-x=k，与圆方程联立，可得最值，求出（-3，-4）与（3，1）的距离为36+25=61，即可求出（x+3）2+（y+4）2的最值．

①圆O₁：（x-3）²+（y-1）²=1的圆心为（3，1），半径为1，

圆心到直线l：x+y-1=0距离为

3

2

2，

∴P点到直线l：x+y-1=0距离的最大值为

3

2

2+1，最小值为

3

2

2−1，

过（3，1）与直线l：x+y-1=0垂直的直线方程为x-y-2=0，与圆O₁：（x-3）²+（y-1）²=1联立，

可得对应的P点坐标分别为(3+

2

2，1+

2

2)，(3−

2

2，1−

2

2)．

②设[y/x]=t，则y=tx，代入圆O₁：（x-3）²+（y-1）²=1，

可得（x-3）²+（tx-1）²=1，

∴（1+t²）x²-（6+2t）x+9=0，

∴△=（6+2t）²-36（1+t²）=0，

∴t=0或t=[3/4]，

∴[y/x]的最大值为[3/4]，[y/x]最小值为0；

设y-x=k，则代入圆O₁：（x-3）²+（y-1）²=1，

可得（x-3）²+（x+k-1）²=1，

∴2x²-（8-2k）x²+k²-2k+9=0，

∴△=（8-2k）²-8（k²-2k+9）≥0，

∴-2-

2≤k≤-2+

2，

∴y-x的最大值为-2+

2，y-x最小值为-2-

2；

（-3，-4）与（3，1）的距离为

36+25=

61，

∴（x+3）²+（y+4）²的最大值为（

61+1）²=62+2

61；（x+3）²+（y+4）²的最小值为（

61-1）²=62-2

61．

点评：

本题考点： 圆方程的综合应用．

考点点评： 本题考查圆方程的综合应用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．