解题思路：（Ⅰ）切线和x轴平行，所以切线的斜率为0，再根据函数在切点处的导数与切线斜率的关系便能求出a．从而求出函数f（x），求f′（x），根据导数符号和函数单调性的关系便能判断函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）根据函数f（x）在[0，1]上的单调性求出函数f（x）的值域[1，e]，所以对于任意的x1，x2∈[0，1]有|f（x1）-f（x2）|≤e-1＜2，即|f（x1）-f（x2）|＜2．
（Ⅰ）f′（x）=ex[ax2+（2a+1）x+2]；
由已知条件知：f′（1）=3e（a+1）=0，∴a=-1；
∴f（x）=ex（-x2+x+1），f′（x）=ex（-x2-x+2）；
∴解-x2-x+2＞0得：-2＜x＜1；解-x2-x+2＜0得：＜-2，或x＞1；
∴函数f（x）在[-2，1]上单调递增，在（-∞，-2）和（1，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）在[0，1]上单调递增；
∴函数f（x）在[0，1]上的值域为：[f（0），f（1）]=[1，e]；
∴对任意x1，x2∈[0，1]，|f（x1）-f（x2）|≤e-1＜2；
∴对任意x1，x2∈[0，1]，有|f（x1）-f（x2）|＜2．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 考查函数在切点处的导数与切线斜率的关系，函数导数符号和函数单调性的关系．