Question

已知a,b,c,d∈R,且a^2+b^2=m^2,c^2+d^2=n^2 (m>0,n>0) 求证 |ac+bd|

Answer 1

由柯西不等式知,

(a^2+b^2)(c^2+d^2)>=(ac+bd)^2

又因为a^2+b^2=m^2,c^2+d^2=n^2 (m>0,n>0),所以

(mn)^2>=(ac+bd)^2

开方可得（因为m,n为正数）

mn>=|ac+bd|

又由基本不等式（均值不等式）知

1/2(m^2+n^2)>=mn

所以|ac+bd|