已知函数f(x)=(x2-2x+2-k)ex,k∈R.

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)由f'(x)=(2x-2)ex+(x2-2x+2-k)ex=(x2-k)ex,由k的取值范围进行分类讨论,利用导数的性质能求出f(x)的单调区间.

    (Ⅱ)由k≤0,k≥1,0<k<1三种情况进行分类讨论,利用导数性质能求出k=2-e.

    (本小题满分14分)

    (Ⅰ)f'(x)=(2x-2)ex+(x2-2x+2-k)ex=(x2-k)ex.(3分)

    当k<0时,f'(x)>0,函数f(x)在R上是增函数.

    当k=0时,在区间(-∞,0)和(0,+∞)上f'(x)>0,f'(0)=0,

    函数f(x)在R上是增函数.(5分)

    当k>0时,解f'(x)>0,得x>

    k,或x<-

    k.

    解f'(x)<0,得-

    k<x<

    k.

    所以函数f(x)在区间(-∞,-

    k)和(

    k,+∞)上是增函数,

    在区间(-

    k,

    k)上是减函数.

    综上,当k≤0时,(-∞,+∞)是函数f(x)的单调增区间;

    当k>0时,(-∞,-

    k)和(

    k,+∞)是函数f(x)的单调递增区间,

    (-

    k,

    k)是函数f(x)的单调递减区间.

    (7分)

    (Ⅱ)当k≤0时,函数f(x)在R上是增函数,

    所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0),

    依题意,f(0)=2-k=e,解得k=2-e,符合题意.(8分)

    k≥1,即k≥1时,函数f(x)在区间[0,1]上是减函数.

    所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1),

    解f(1)=(1-k)e=e,得k=0,不符合题意.(9分)

    k<1,即0<k<1时,

    函数f(x)在区间[0,

    k]上是减函数,在区间[

    k,1]上是增函数.

    所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(

    k),(10分)

    解f(

    k)=(2-2

    k)e

    k=e,即(2-2

    k)=e1-

    k,

    设h(t)=et-2t,t∈(0,1),(11分)

    h'(t)=et-2,则在区间(0,ln2)上h'(t)<0,

    在区间(ln2,1)上h'(t)>0,

    所以h(t)在区间(0,1)上的最小值为h(ln2),(12分)

    又h(ln2)=eln2-2ln2=2-2ln2>0,(13分)

    所以et-2t=0在区间(0,1)上无解,

    所以(2-2

    k)=e1-

    k在区间(0,1)上无解,(14分)

    综上,k=2-e.

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题考查函数的单调区间的求法,考查实数值的求法,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.