解题思路:(Ⅰ)由f'(x)=(2x-2)ex+(x2-2x+2-k)ex=(x2-k)ex,由k的取值范围进行分类讨论,利用导数的性质能求出f(x)的单调区间.
(Ⅱ)由k≤0,k≥1,0<k<1三种情况进行分类讨论,利用导数性质能求出k=2-e.
(本小题满分14分)
(Ⅰ)f'(x)=(2x-2)ex+(x2-2x+2-k)ex=(x2-k)ex.(3分)
当k<0时,f'(x)>0,函数f(x)在R上是增函数.
当k=0时,在区间(-∞,0)和(0,+∞)上f'(x)>0,f'(0)=0,
函数f(x)在R上是增函数.(5分)
当k>0时,解f'(x)>0,得x>
k,或x<-
k.
解f'(x)<0,得-
k<x<
k.
所以函数f(x)在区间(-∞,-
k)和(
k,+∞)上是增函数,
在区间(-
k,
k)上是减函数.
综上,当k≤0时,(-∞,+∞)是函数f(x)的单调增区间;
当k>0时,(-∞,-
k)和(
k,+∞)是函数f(x)的单调递增区间,
(-
k,
k)是函数f(x)的单调递减区间.
(7分)
(Ⅱ)当k≤0时,函数f(x)在R上是增函数,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0),
依题意,f(0)=2-k=e,解得k=2-e,符合题意.(8分)
当
k≥1,即k≥1时,函数f(x)在区间[0,1]上是减函数.
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1),
解f(1)=(1-k)e=e,得k=0,不符合题意.(9分)
当
k<1,即0<k<1时,
函数f(x)在区间[0,
k]上是减函数,在区间[
k,1]上是增函数.
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(
k),(10分)
解f(
k)=(2-2
k)e
k=e,即(2-2
k)=e1-
k,
设h(t)=et-2t,t∈(0,1),(11分)
h'(t)=et-2,则在区间(0,ln2)上h'(t)<0,
在区间(ln2,1)上h'(t)>0,
所以h(t)在区间(0,1)上的最小值为h(ln2),(12分)
又h(ln2)=eln2-2ln2=2-2ln2>0,(13分)
所以et-2t=0在区间(0,1)上无解,
所以(2-2
k)=e1-
k在区间(0,1)上无解,(14分)
综上,k=2-e.
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查函数的单调区间的求法,考查实数值的求法,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.