解题思路：（Ⅰ）首先说明函数f（|-x|）是偶函数，问题转化为f（x）＞0对任意x≥0成立，求出函数f（x）的导函数，分k的范围求出函数f（x）在[0，+∞）上的最小值，由最小值大于0求得k的取值范围；（Ⅱ）首先判断出F（x）＞0恒成立，然后由lnF（x1）+lnF（x2）＞ln（en+1+2），分别得到lnF（1）+lnF（n）＞ln（en+1+2），lnF（2）+lnF（n-1）＞ln（en+1+2），…，lnF（n）+lnF（1）＞ln（en+1+2）．累加后即可证得结论．
（Ⅰ）由f（|-x|）=f（|x|），可知f（|x|）是偶函数．
于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．
由f′（x）=ex-k=0，得x=lnk．
①当k∈（0，1]时，f′（x）=ex-k＞1-k≥0（x＞0）．
此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．
②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．
当x变化时f′（x），f（x）的变化情况如表：
x （0，lnk） lnk （lnk，+∞）
f′（x） - 0 +
f（x） 单调递减 极小值 单调递增由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．
依题意，k-klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．
综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．
（Ⅱ）∵F（x）=f（x）+f（-x）=ex+e-x＞0，
∴lnF（x1）+lnF（x2）=ln[（ex1+e−x1）（ex2+e−x2）]，
又（ex1+e−x1）（ex2+e−x2）
=ex1+x2+e−(x1+x2)+ex1−x2+e−x1+x2＞ex1+x2+e−(x1+x2)+2＞ex1+x2+2，
∴lnF（1）+lnF（n）＞ln（en+1+2），
lnF（2）+lnF（n-1）＞ln（en+1+2），
…
lnF（n）+lnF（1）＞ln（en+1+2）．
由此得：2[F（1）+F（2）+…+F（n）]
=[F（1）+F（n）]+[F（2）+F（n-1）]+…+[F（n）+F（1）]＞nln（en+1+2），
故lnF（1）+lnF（2）+…+lnF（n）＞[n/2]ln（en+1+2）（n∈N*）成立．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；分数指数幂；数列的求和．