解题思路：（Ⅰ）根据
2−2
a
n+1
a
n+1
−3
＝
a
n
(n∈
N
*
)
，可得
b
n
＝
a
n
−2
a
n
+1
=
4(a
n+1
−2)
a
n+1
+1
＝4
b
n+1
，从而可得数列{bn}是以[1/4]为首项，[1/4]为公比的等比数列，故可求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）将（4n-1）an≥t•2n+1-17对任意n∈N*恒成立，等价于
t≤
4
n
+9
2
n
＝
2
n
+
9
2
n
对任意n∈N*恒成立
，根据y＝m+
9
m
(m＞0)
在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，可求右边函数的最小值，从而可求实数t的取值范围；
（Ⅲ）因为
c
n
＝
3
a
n
+1
=
1−
1
4
n
，为了证明结论，首先猜想并证明
(1−
1
4
)(1−
1
4
2
)…(1−
1
4
n
)≥
1−(
1
4
+
1
4
2
+ …+
1
4
n
)
，利用[1/4+
1
4
2
+ …+
1
4
n
＜
1
4
1−
1
4
＝
1
3]，即可证得结论．
（Ⅰ）∵
2−2an+1
an+1−3＝an(n∈N*)，∴bn＝
an−2
an+1=
4(an+1−2)
an+1+1＝4bn+1，
∴
bn+1
bn＝
1
4
∵a1＝3，b1＝
1
4
∴数列{bn}是以[1/4]为首项，[1/4]为公比的等比数列
∴bn＝
1
4n；
（Ⅱ）∵bn＝
an−2
an+1，∴an＝
2•4n+1
4n−1
∵（4n-1）an≥t•2n+1-17对任意n∈N*恒成立，
∴t≤
4n+9
2n＝2n+
9
2n对任意n∈N*恒成立
∵y＝m+
9
m(m＞0)在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增
∴(2n+
9
2n)min＝min{2+
9
2，4+
9
4}＝
25
4
∴t≤
25
4
∴实数t的取值范围是
点评：
本题考点： 用数学归纳法证明不等式；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．
考点点评： 本题以数列递推式为载体，考查数列的通项，考查恒成立问题，考查不等式的证明，解题的关键是恒成立问题的等价转化，及数列的特殊性，第（Ⅲ）难度较大．
1年前
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