|A-λE| =
4-λ -2 2
2 -1-λ 1
-2 1 -1-λ
r3+r2
4-λ -2 2
2 -1-λ 1
0 -λ -λ
c2-c3
4-λ -4 2
2 -2-λ 1
0 0 -λ
= -λ[(4-λ)(-2-λ)+8]
= -λ(λ^2-2λ)
= -λ^2(λ-2).
所以A的特征值为 2,0,0
(A-2E)X=0 的基础解系为:a1=(2,1,-1)^T
AX=0 的基础解系为:a2=(1,2,0)^T,a3=(1,0,-2)^T
令P=(a1,a2,a3)=
2 1 1
1 2 0
-1 0 -2
则P可逆,且 A=Pdiag(2,0,0)P^-1
所以 A^100 = Pdiag(2^100,0,0)P^-1 =
2^101 -2^100 2^100
2^100 -2^99 2^99
-2^100 2^99 -2^99