Question

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA⊥底面,E、F分别是AB、PC的中点,PA=AD.求证：E

Answer 1

∵ABCD是矩形,　∴AD＝BC,又PA＝AD,　∴PA＝BC.

∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB；　∵ABCD是矩形,　∴AB⊥BC.

∴PB^2＝PA^2＋AB^2＝BC^2＋AB^2＝AC^2,　∴PB＝AC.

由PA＝BC、PB＝AC、PC＝PC,得：△PBC≌△PCA,∴∠PCB＝∠CPA.

由PA＝BC、PF＝CF＝PC/2、∠PCB＝∠CPA,得：△PAF≌△CBF,∴AF＝BF.

由AE＝BE、AF＝BF,得：EF⊥AB,而由矩形ABCD,有：AB∥DC,EF⊥DC.

∵∠PAE＝∠CBE＝90°、PA＝BC、AE＝BE,∴△PAE≌△CBE,∴PE＝CE,又AF＝CF,

EF⊥PC.

由EF⊥PC、EF⊥DC、PC∩DC＝C,得：EF⊥平面PCD.