解题思路:(1)要证△AHD∽△CBD,只要证明这两个三角形的两组对边的比相等,就可以证出;
(2)①设OD=x,则BD=1-x,AD=1+x,由Rt△AHD∽Rt△CBD可用x表示出DH的值,在Rt△HOD中利用勾股定理可用x表示出OH的值,进而可得出结论;
②当点E移动到使D与O重合的位置时,这时HD与HO重合,由Rt△AHO∽Rt△CBO,利用对应边的比例式为方程,可以算出HD=HO=[1/2],即HD+HO=1;
③当D在OA段时BD=1+x,AD=1-x,证明同①.
(1)证明:AB是⊙O的直径
∴∠AEB=90°,则∠ABC+∠BAE=90°,
又∵CD⊥AB,
∴∠BAE+∠AHD=90°,
∴∠AHD=∠ABC,
又∵∠ADH=∠CDB=90°,
∴△AHD∽△CBD.
(2) 设OD=x,则BD=1-x,AD=1+x,
∵Rt△AHD∽Rt△CBD,
则HD:BD=AD:CD,
即HD:(1-x)=(1+x):2,
即HD=
1-x2
2,
在Rt△HOD中,由勾股定理得:
OH=
OD2+HD2=
x2+(
1-x2
2)2=
1+x2
2,
所以HD+HO=
1-x2
2+
1+x2
2=1;
②当点E移动到使D与O重合的位置时,这时HD与HO重合,由Rt△AHO∽Rt△CBO,利用对应边的比例式为方程,可以算出HD=HO=[1/2],即HD+HO=1;
③当D在OA段时BD=1+x,AD=1-x,证明同①∵Rt△AHD∽Rt△CBD,
则HD:BD=AD:CD,
即HD:(1-x)=(1+x):2,
即HD=
1-x2
2,
在Rt△HOD中,由勾股定理得:
OH=
OD2+HD2=
x2+(
1-x2
2)2=
1+x2
2,
所以HD+HO=
1-x2
2+
1+x2
2=1.
点评:
本题考点: 勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.
考点点评: 本题主要考查了三角形相似的证明方法,有两组对应角相等的三角形相似;在第二问中根据三角形相似,对应边的比相等,把问题转化为解方程的问题.