已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0,2]上有最小值为g(a),求g(a)的最小值.

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  • 解题思路:函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0,2]上有最小值g(a),对函数进行配方,对对称轴是否在区间内进行讨论,从而可知函数在何处取得最小值,解出相应的a的范围即可.

    f(x)=4(x−

    a

    2)2−2a+2

    ①当

    a

    2≤0即a≤0时,函数f(x)在[0,2]上是增函数,∴f(x)min=f(0)=a2-2a+2(2分)

    ②当o<[a/2]<2即0<a<4时,f(x)min=f([a/2])=-2a+2(4分)

    ③当[a/2]≥2即a≥4时,函数f(x)在[0,2]上是减函数,(6分)

    ∴f(x)min=f(2)=a2-10a+18∴g(a)=

    a2−2a+2,a≤0

    −2a+2

    ,&0<a<4

    a2−10a+18,a≥4.(8分)

    又当a≤0时,g(a)min=g(0)=2(10分)

    当0<a<4时,g(a)>g(4)=-6(12分)

    当a≥4时,g(a)min=g(5)=-7(14分)

    ∴g(a)min=g(5)=-7(16分)

    点评:

    本题考点: 函数的最值及其几何意义.

    考点点评: 考查二次函数在闭区间上的最值问题中的动轴定区间上的最值问题,体现了分类讨论和运动变化的思想方法,属中档题.