Question

在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，平面ABC1⊥平面AA1C1C，∠AA1C1=∠BAC1=60°

Answer 1

解题思路：（I）由四边形AA₁C₁C为平行四边形，知AC=A₁C₁，由AC=AA₁，知△AA₁C₁为等边三角形，由此能够证明BO⊥平面AA₁C₁C．

（Ⅱ）连接BA₁交AB₁于E，过E作EF∥BO交OA₁于F，连接OE，由BO⊥平面AA₁C₁C，AC₁⊂平面AA₁C₁C，知EF⊥AC₁，由OF⊥AC₁，OF∩EF=F，EF，OF⊂平面OA₁B，知AC₁⊥平面OA₁B，由OE⊂平面OA

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B，知AC₁⊥OE，由此得到∠EOF是二面角的平面角，从而能求出二面角B₁-AC₁-A₁的大小．

（I）∵四边形AA₁C₁C为平行四边形，∴AC=A₁C₁，

∵AC=AA₁，∴AA₁=A₁C₁，∴∠AA₁C₁=60°，

∴△AA₁C₁为等边三角形，

同理△ABC₁是等边三角形，

∵O为AC₁的中点，∴BO⊥AC₁，

∵BO⊂平面ABC₁，平面ABC₁∩平面AA₁C₁C=AC₁，

∴平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，

由面面垂直的性质定理知BO⊥平面AA₁C₁C．

（Ⅱ）连接BA₁交AB₁于E，过E作EF∥BO交OA₁于F，连接OE，

∵BO⊥平面AA₁C₁C，AC₁⊂平面AA₁C₁C，∴EF⊥AC₁，

又∵OF⊥AC₁，OF∩EF=F，

EF，OF⊂平面OA₁B，

∴AC₁⊥平面OA₁B，

∵OE⊂平面OA 1 B，∴AC₁⊥OE，

∴∠EOF是二面角的平面角，

在直角三角形EOF中，OF=

1

4CA1＝

3

2，

EF=

1

2BO＝

3

2，

∴∠EOF=[π/4]，故二面角B₁-AC₁-A₁的大小为[π/4]．

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．