Question

在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点.

Answer 1

设底面正方形边长为1,

DE=√5/2,△PDB是RT△,

BD=√2,

PD=1,

PB=√3,

DF=PB/2=√3/2,

PA=√2,

EF=PA/2=√2/2,

根据勾股定理,DF^2+EF^2=DE^2,

△DEF是RT△,

S△DEF=DF*EF/2=√6/8,

设N至平面DEF距离为d,

VF-BDE=S△DEF*d/3=√6d/24,

S△DBE=S正方形ABCD/4=1/4,

取BD中点O,连结FO,则OF是△PBD中位线,

OF//DP,OF=DP/2=1/2,

∵PD⊥平面ABCD,

∴OF⊥平面BDE,

OF是三棱锥F-BED有高,

VF-BED=S△BED*OF/3=（1/4）*（1/2）/3=1/24,

VF-BED=VB-DEF,

√6d/24=1/24,

d=√6/6,

设BD和平面DEF所成角为θ,

sinθ=d/BD=（√6/6）/√2=√3/6,

∴DB与平面DEF所成角的正弦值为√3/6.