Question

已知各项均不相等的等差数列{a n }的前三项和S 3 =9，且a 5 是a 3 和a 8 的等比中项．

Answer 1

（1）设数列{a _n}的公差为d，则

∵S ₃=9，且a ₅是a ₃和a ₈的等比中项，

∴

3 a 1 +3d=9

( a 1 +4d ) 2 =( a 1 +2d)( a 1 +7d)

∵d≠0，∴d=1

∴a ₁=2

∴a _n=n+1；

（2）证明：∵

1

a n a n+1 =

1

(n+1)(n+2) =

1

n+1 -

1

n+2

∴T _n=

1

2 -

1

3 +

1

3 -

1

4 +…+

1

n+1 -

1

n+2 =

1

2 -

1

n+2 =

n

2(n+2)

∵T _n≤λa _n+1对任意的n∈N ^*恒成立，

∴

n

2(n+2) ≤λ(n+2) 对任意的n∈N ^*恒成立，

∵

n

2(n+2 ) 2 =

1

2(n+

4

n +4) ≤

1

2×(4+4) =

1

16

∴ λ≥

1

16 ．