高等数学（B）（1）作业1
初等数学知识
一、名词解释：
邻域——设 是两个实数,且 ,满足不等式 的实数 的全体,称为点 的 邻域.
绝对值——数轴上表示数 的点到原点之间的距离称为数 的绝对值.记为 .
区间——数轴上的一段实数.分为开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间.
数轴——规定了原点、正方向和长度单位的直线.
实数——有理数和无理数统称为实数.
二、填空题
1．绝对值的性质有 、 、 、 、 、 .
2．开区间的表示有 、 .
3．闭区间的表示有 、 .
4．无穷大的记号为 .
5． 表示全体实数,或记为 .
6． 表示小于 的实数,或记为 .
7． 表示大于 的实数,或记为 .
8．去心邻域是指 的全体.用数轴表示即为9.MANZU
9．满足不等式 的数 用区间可表示为 .
三、回答题
1．答：（1）发展符号意识,实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变.（2）培养严密的思维能力,实现从具体描述到严格证明的转变.
（3）培养抽象思维能力,实现从具体数学到概念化数学的转变.
（4）树立发展变化意识,实现从常量数学到变量数学的转变.
2．答：包括整数与分数.
3．答：不对,可能有无理数.
4．答：等价于 .
5．答：.
四、计算题
.
.
.
为方程的解.
函 数（P3）
一、名词解释
函数——设x与y是两个变量,若当x在可以取值的范围D内任意取一个数值时,变量y通过某一法则 f,总有唯一确定的值与之对应,则称变量y是变量x的函数.其中D叫做函数的定义域,f称为对应法则,集合G={y|y=f(x),x }叫做函数的值域.
奇函数——若函数 的定义域关于原点对称,若对于任意的 ,恒有
为奇函数.
偶函数——若函数 的定义域关于原点对称,若对于任意的 ,恒有
,则称函数 为偶函数.
定义域——自变量的取值范围,记作 .
值域——所有函数值组成的集合,记作G={y|y=f(x),x }.
初等数学——包括几何与代数,基本上是常量的数学.
三角函数：称 为三角函数.
指数函数——称函数 为指数函数.
复合函数——设 若 的值域包含在 的定义域中,则 通过 构成 的函数,记作 ,称其为复合函数,称为中间变量.
对数函数——称函数 为对数函数.
反函数——若函数 的值域为 ,若 ,都有一个确定的且满足 的 值与之对应.则由此得到一个定义在 上的以 为自变量、 为因变量的新函数,称它为 的反函数,记作 .
幂函数——称函数 （ 为实数）为幂函数.
常函数——称函数 为常函数.
常量——在某一变化过程中,始终保持不变的量.
变量——在某一变化过程中,可以取不同数值的量.
二、填空题
1．函数概念最早是由莱布尼兹引进的.有了函数概念,人们就可以从数量上描述运动.
2．在历史上第一个给出函数一般定义的是狄里克雷,并给出了一个不能画出图形的函数.这就是著名的狄里克雷函数,其表达式是 .
3．函数的三种表示法：解析法、图像法、列表法.
4．函数表达了因变量与自变量之间的一种对应规则.
5．单值函数是当自变量在定义域中取定了一数值时,与之对应的函数值是唯一的函数.
6．奇函数的图像特点是关于原点对称,偶函数的图像特点是关于y轴对称.
7．单调函数的图像特点是总是上升或总是下降.
8．反函数的图像特点是关于直线y=x对称.
三、回答题
1．答：设函数 在集合 上有定义,如果存在一个正数 ,对所有的 ,恒有 ,则称函数 为有界函数.
2．答：（1）当一个函数 在区间 有界时,正数 的取法不是唯一的.
（2）有界性是依赖于区间的.
3．答：,则称函数 在区间 单调增加.否则,称为单调减少.
4．答：若函数 在区间 单调,其值域是 ,则函数 存在反函数 其定义域是 ,值域是 .
四、作图题
（1） 是抛物线.
（2） 是立方抛物线.
（3） 是正弦曲线.
（4） 是余弦曲线.
（5） 是正切曲线.
（6） 是半抛物线.
（7） 是自然对数函数.
（8） 是指数函数(a>1).
（9） 是对数函数(a>1).
（10） 是对数函数（a0,在（a,b）内 ,根据定积分的几何意义,则 （ A ）.
A．大于 ； B.小于 ；
C．等于 ； D.大于 .
五、计算题
1．求函数 的定义域.
由题意知 ,函数的定义域为 .
2． 用导数定义求函数 在点 的导数.
3．求 的近似值.
令 ,取 ,,
则由近似公式：,
4．设函数 ,求其原函数.
所以原函数为：
5．求不定积分
令 ,则 ,,
如下图.
六、论述题
试简要论述微积分产生的历史背景.
答：见书P205.