解题思路：先证明截面EFGH是平行四边形，设AB=a，CD=b，∠FGH=α，再设FG=x，GH=y，由平面几何知识得 [x/a＝
CG
CB
，
y
b
＝
BG
BC]，两式相加可得y=[b/a]（a-x）．
截面面积S=FG•GH•sinα=
bsinα
a
•x•(a−x)
，再利用基本不等式可得当E、F、G、H分别为相应棱的中点时，截面面积最大．
∵AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH，∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG∥EH．
同理可证EF∥GH，∴截面EFGH是平行四边形．
设AB=a，CD=b，∠FGH=α （a、b、α均为定值，其中α为AB与CD所成的角）．
再设FG=x，GH=y，由平面几何知识得 [x/a＝
CG
CB，
y
b＝
BG
BC]，
两式相加得[x/a+
y
b]=1，即y=[b/a]（a-x）．
∴截面面积S=FG•GH•sinα=x•
b
a(a−x)•sinα=[bsinα/a•x•(a−x)．
∵x＞0，a-x＞0，且x+（a-x）=a为定值，∴
bsinα
a•x•(a−x)≤
bsinα
a•(
x+a−x
2) 2=
ab•sinα
4]，
∴当且仅当x=a-x，即x=[a/2]时，取等号，即截面面积最大为S=[ab/4]sinα，
即当E、F、G、H分别为相应棱的中点时，截面面积最大．
点评：
本题考点： 棱锥的结构特征．
考点点评： 本题主要考查棱锥的结构特征，基本不等式的应用，属于中档题．
1年前
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