Question

欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一,使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边,并且

Answer 1

从六个顶点选出3个顶点组成三角形,共有C(6,3)=20（种）,这也是所有的三角形种数.由于每个三角形使用不同的3色组合,那么这样的组合最多有C(n,3)种三角形数不能超过组合种数,于是有20≤C(n,3)得n≥6.当然,n=6是不能构造出来的,因为假设有两个顶点连的一边染色红,那么剩下染红色的边必定在剩下的4个顶点中（否则与“任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边”矛盾）这样下去得出一种颜色最多存在3边,由于共C（6,2）=15条边而15÷6=2……3,必有3种颜色每种各染了三条边,设为1,2,3三色不妨AB,CD,EF染1BC,DE,AF染2则剩下4种色怎么染都有三角形使用相同的3色组合所以n≥7,构造如图,请检验下