2006年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）
1．在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）.
（A）36 （B）37 （C）55 （D）90
答：C．
因为4和9的最小公倍数为36,19＋36＝55,所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.
故选C．
2．已知 , ,且 ,则 的值等于（ ）
（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9
答：C．
由已知可得 , ．又
,
所以 ,
解得 ．
故选C．
3．Rt△ABC的三个顶点 , , 均在抛物线 上,并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为 ,则（ ）
（A） （B） （C） （D）
答：B．
设点A的坐标为 ,点C的坐标为 （ ）,则点B的坐标为 ,由勾股定理,得
,
,
,
所以 ．
由于 ,所以 ,故斜边AB上高 ．
故选B．
4．一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是（ ）
（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007
答：B．
根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增加360°．于是,剪过 次后,可得（ ＋1）个多边形,这些多边形的内角和为（ ＋1）×360°．
因为这（ ＋1）个多边形中有34个六十二边形,它们的内角和为
34×（62－2）×180°=34×60×180°,
其余多边形有（ ＋1）－34＝ －33（个）,而这些多边形的内角和不少于（ －33）×180°．所以
（ ＋1）×360°≥34×60×180°＋（ －33）×180°,
解得 ≥2005．
当我们按如下的方式剪2005刀时,可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形,得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形,得到2个三角形和1个六边形……如此下去,剪了58刀后,得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到33个三角形和33个四边形,对这33个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪58刀,便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了
58＋33＋33×58＝2005（刀）．
故选B．
5．如图,正方形 内接于⊙ ,点 在劣弧 上,连结 , 交 于点 ．若 ,则 的值为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
答：D．
如图,设⊙ 的半径为 , ,则 , , ．
在⊙ 中,根据相交弦定理,得 ．
即 ,
所以 ．
连结DO,由勾股定理,得
,
即 ,
解得 ．
所以, ．
故选D．
二、填空题（共5小题,每小题6分,满分30分）
6．已知 , , 为整数,且 ＋ ＝2006, ＝2005．若 ＜ ,则 ＋ ＋ 的最大值为 ．
答：5013．
由 ＋ ＝2006, ＝2005,得
＋ ＋ ＝ ＋4011．
因为 ＋ ＝2006, ＜ , 为整数,所以, 的最大值为1002．
于是, ＋ ＋ 的最大值为5013．
7．如图,面积为 的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c是整数,且b不能被任何质数的平方整除,则 的值等于 .
答： ．
设正方形DEFG的边长为x,正三角形ABC的边长为m,则 ．由△ADG ∽ △ABC,可得
作者： 221.13.21.* 2006-5-3 12:29 回复此发言
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2 2006全国初中数学竞赛试题及答案（全）
,
解得 ．于是
,
由题意,a＝28,b＝3,c＝48,所以 .
8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A,C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为50米∕分,乙的速度为46米∕分. 那么,出发后经过 分钟,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．
答：104．
设甲走完x条边时,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了400x米,乙走了 米．于是
,
且 ≤ ,
所以, ≤ ＜ ．
故x=13,此时 ．
9．已知 ,且满足
（ 表示不超过x的最大整数）,则 的值等于 ．
答：6．
因为 ,所以 , ,…, 等于0或者1．由题设知,其中有18个等于1,所以
＝ ＝…＝ ＝0,
＝ ＝…＝ ＝1,
所以 ,
≤ ＜ ．
故 ≤ ＜ ,于是 ≤ ＜ ,所以 6．
10．小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码．小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是 ．
答：282500．
设原来电话号码的六位数为 ,则经过两次升位后电话号码的八位数为 ．
根据题意,有81× ＝ ．
记 ,于是
,
解得 ．
因为 ≤ ≤ ,所以
≤ ＜ ,
故 ＜ ≤ ．
因为 为整数,所以 ＝2．于是
．
所以,小明家原来的电话号码为282500．
三、解答题（共4题,每小题15分,满分60分）
11（A）．已知 , , 为互质的正整数,且 ≤ , ．
（1）试写出一个满足条件的x；
（2）求所有满足条件的 ．
（1） 满足条件． ……………………5分
（2）因为 , , 为互质的正整数,且 ≤ ,所以
,
即
．
当a＝1时, ,这样的正整数b不存在．
当a＝2时, ,故b＝1,此时 ．
当a＝3时, ,故b＝2,此时 ．
当a＝4时, ,与 互质的正整数b不存在．
当a＝5时, ,故b＝3,此时 ．
当a＝6时, ,与 互质的正整数b不存在．
当a＝7时, ,故b＝3,4,5,此时 , , ．
当a＝8时, ,故b＝5,此时 ．
所以,满足条件的所有分数为 , , , , , , ．
…………………15分
12（A）．设 , , 为互不相等的实数,且满足关系式
①
及 , ②
求 的取值范围．
解法1：由①－2×②得
,
所以 ．
当 时,
．
…………………10分
又当 ＝ 时,由①,②得
, ③
, ④
将④两边平方,结合③得
,
化简得
,
故 ,
解得 ,或 ．
所以, 的取值范围为 且 , ．
……………15分
解法2：因为 , ,所以
＝ ＝ ,
所以 ．
又 ,所以 , 为一元二次方程
⑤
的两个不相等实数根,故
,
所以 ．
当 时,
．
…………………10分
另外,当 ＝ 时,由⑤式有
,
即
,或 ,
解得 ,或 ．
所以, 的取值范围为 且 , ．
…………………15分
13（A）．如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B．过点A作PB的平行线,交⊙O于点C．连结PC,交⊙O于点E；连结AE,并延长AE交PB于点K． 求证： ．
证明：因为AC‖PB,所以 ．又PA是⊙O的切线,所以 ．故 ,于是
△KPE∽△KAP,
所以 ,
作者： 221.13.21.* 2006-5-3 12:29 回复此发言
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3 2006全国初中数学竞赛试题及答案（全）
即 ．
………………5分
由切割线定理得
,
所以, KP＝KB．
…………………10分
因为AC‖PB,所以,△KPE∽△ACE,于是
,
故 ,
即 ．
…………………15分
14（A）．2006个都不等于119的正整数 排列成一行数,其中任意连续若干项之和都不等于119,求 的最小值．
首先证明命题：对于任意119个正整数 ,其中一定存在若干个（至少一个,也可以是全部）的和是119的倍数．
事实上,考虑如下119个正整数
, ,…, , ①
若①中有一个是119的倍数,则结论成立．
若①中没有一个是119的倍数,则它们除以119所得的余数只能为1,2,…,118这118种情况．所以,其中一定有两个除以119的余数相同,不妨设为 和 （ ≤ ＜ ≤ ）,于是
,
从而此命题得证．
…………………5分
对于 中的任意119个数,由上述结论可知,其中一定有若干个数的和是119的倍数,又由题设知,它不等于119,所以,它大于或等于2×119,又因为 ,所以
≥ ． ②
…………………10分
取 ,其余的数都为1时,②式等号成立．
所以, 的最小值为3910．
…………………15分
11（B）．已知△ 中, 是锐角．从顶点 向 边或其延长线作垂线,垂足为 ；从顶点 向 边或其延长线作垂线,垂足为 ．当 和 均为正整数时,△ 是什么三角形?并证明你的结论．
设 , 均为正整数,则
,
所以,mn＝1,2,3．
…………………5分
（1）当mn＝1时, , ,此时 ．所以 垂直平分 , 垂直平分 ,于是△ 是等边三角形．
（2）当mn＝2时, , ,此时 ,或 ,所以点 与点 重合,或点 与点 重合．故 ,或 ,于是△ 是等腰直角三角形．
（3）mn＝3时, , ,此时 ,或 ．于是 垂直平分 ,或 垂直平分 ．故 ,或 ,于是△ 是顶角为 的等腰三角形．
…………………15分
12（B）．证明：存在无穷多对正整数 ,满足方程
．
证法1：原方程可以写为
,
于是
是完全平方数．
…………………5分
设 ,其中k是任意一个正整数,则 ．
…………………10分
于是
,或 ．
所以,存在无穷多对正整数 （其中k是正整数）满足题设方程．
…………………15分
证法2：原方程可写为
,
所以可设
（x是正整数）, ①
取 ． ②
…………………5分
① －②得
．
令 （y是任意正整数）,则 ．
…………………10分
于是
．
所以,存在无穷多对正整数 （其中y是任意正整数）满足题设方程．
…………………15分
13（B）．如图,已知锐角△ABC及其外接圆⊙O,AM是BC边的中线．分别过点B,C作⊙O的切线,两条切线相交于点X,连结AX．求证： ．
证明：设AX与⊙O相交于点 ,连结OB,OC, ．又M为BC的中点,所以,连结OX,它过点M．
因为 ,所以
． ①
又由切割线定理得
． ②
…………………5分
由①,②得
,
于是
△XMA∽△ ,
所以
．
…………………10分
又 ,所以 ,于是
．
…………………15分
14（B）．10个学生参加n个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中．证明：n的最小值为6．
证明：设10个学生为 ,n个课外小组为 ．
首先,每个学生至少参加两个课外小组．否则,若有一个学生只参加一个课外小组,设这个学生为 ,由于每两个学生都至少在某一小组内出现过,所以其它9个学生都与他在同一组出现,于是这一组就有10个人了,矛盾．
…………………5分
若有一学生恰好参加两个课外小组,不妨设 恰好参加 ,由题设,对于这两组,至少有两个学生,他们没有参加这两组,于是他们与 没有同过组,矛盾．
所以,每一个学生至少参加三个课外小组．于是n个课外小组 的人数之和不小于 ＝30．
另一方面,每一课外小组的人数不超过5,所以n个课外小组 的人数不超过5n,故
≥ ,
所以 ≥ ．
…………………10分
下面构造一个例子说明 是可以的．
, , ,
, , ．
容易验证,这样的6个课外小组满足题设条件．
所以,n的最小值为6．
…………………15分