Question

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx （a，b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）=f（1-x），且方程

Answer 1

（1）∵f（x）满足f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的图象关于直线x=1对称．

而二次函数f（x）的对称轴为x=-

b

2a ，∴-

b

2a =1．①

又f（x）=x有等根，即ax ²+（b-1）x=0有等根，∴△=（b-1） ²=0．②

由①，②得 b=1，a=-

1

2 ．∴f（x）=-

1

2 x ²+x．

（2）∵f（x）=-

1

2 x ²+x=-

1

2 （x-1） ²+

1

2 ≤

1

2 ．

如果存在满足要求的m，n，则必需3n≤

1

2 ，∴n≤

1

6 ．

从而m＜n≤

1

6 ＜1，而x≤1，f（x）单调递增，

∴

f(m)=-

1

2 m 2 +m=3m

f(n)=-

1

2 n 2 +n=3n ，

可解得m=-4，n=0满足要求．

∴存在m=-4，n=0满足要求．