解题思路:(1)根据等边三角形性质得出OP=AP,BP=PC,∠APO=∠CPB=60°,求出∠OPB=∠APC,证出△PBO≌△PCA即可;
(2)由(1)知∠PBO=∠PCA,根据∠BAC=∠BPC=60゜,即可求出答案.
(3)∠EAO=60゜,求出∠AEO=30゜,得出AE=2AO,求出即可.
(1)证明:∵△BPC和△AOP是等边三角形,
∴OP=AP,BP=PC,∠APO=∠CPB=60°,
∴∠APO+∠APB=∠BPC+∠APB,
即∠OPB=∠APC,
在△PBO和△PCA中,
OP=PA
∠OPB=∠APC
PB=PC,
∴△PBO≌△PCA (SAS)
,
∴OB=AC.
(2)由(1)知∠PBO=∠PCA,
∴∠BAC=∠BPC=60゜,
又∵∠OAP=60゜,
∴∠CAP=60゜.
(3)当B点运动时,AE的长度不发生变化,
理由是:∵∠EAO=∠BAC=60゜,∠AOE=90°,
∴∠AEO=30゜,
∴AE=2AO=2,
即当B点运动时,AE的长度不发生变化.
点评:
本题考点: 全等三角形的判定与性质;坐标与图形性质;等边三角形的性质.
考点点评: 本题考查了等边三角形的性质,全等三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质的应用,主要考查学生的推理能力.