（1）∵f（x）=lnx，
∴g（x）=f（x+1）-x=ln（x+1）-x，x＞-1，
∴g′(x)＝
1
x+1?1＝
?x
x+1．
当x∈（-1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0．
（2）∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，
∴
a≥
lnx
x
a≤x+
1
x在x＞0上恒成立，
进一步转化为(
lnx
x)max≤a≤(x+
1
x)min，
设h（x）=[lnx/x]，则h′(x)＝
1?lnx
x2，
当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，
∴h（x）≤
1
e．
要使f（x）≤ax恒成立，必须a≥
1
e．
另一方面，当x＞0时，x+[1/x≥2，
要使ax≤x2+1恒成立，必须a≤2，
∴满足条件的a的取值范围是[
1
e]，2]．
（3）当x1＞x2＞0时，
f(x1)?f(x2)
x1?x2＞
2x2
x21+
x22等价于ln
x1
x2＞
2?
x1
x2?2
(
x1
x2)2+1 ．
令t=
x1
x2，设u（t）=lnt-
2t?2
t2+1，t＞1
则u′(t)＝
(t2?1)(t+1)2
t(t2+1)2＞0，
∴u（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴u（t）＞u（1）=0，
∴
f(x1)?f(x2)
x1?x2＞
2x2
x21+
x22．